将极坐标 ( θ , ρ ) (\theta, \rho) (θ,ρ)看做类似直角坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)的情况，将 θ \theta θ看做横坐标，讲 ρ \rho ρ看做纵轴，画出 ( θ , ρ ) (\theta, \rho) (θ,ρ)的直角坐标图和积分区域图形，然后像直角坐标下交换积分次序那样交换 θ , ρ \theta, \rho θ,ρ的积分次序

例一：在极坐标下交换积分次序： I = ∫ − π 4 π 2 d θ ∫ 0 2 cos ⁡ θ f ( r cos ⁡ θ , r sin ⁡ θ ) r d r I=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r I=∫−4π​2π​​dθ∫02cosθ​f(rcosθ,rsinθ)rdr

解析：方法一：以 θ \theta θ为横轴， r r r为纵轴，画出积分区域的几何图形

积分区域 D : − π 4 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ D:-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq r \leq 2 \cos \theta D:−4π​≤θ≤2π​,0≤r≤2cosθ，将 D D D分成两部分： D 1 , D 2 D_{1}, D_{2} D1​,D2​。其中 D 1 : 0 ≤ r ≤ 2 , − π 4 ≤ θ ≤ arccos ⁡ r 2 D_{1}: 0 \leq r \leq \sqrt{2},-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \arccos \frac{r}{2} D1​:0≤r≤2 ​,−4π​≤θ≤arccos2r​，其中 θ ≤ arccos ⁡ r 2 \theta \leq \arccos \frac{r}{2} θ≤arccos2r​是根据 r ≤ 2 cos ⁡ θ ⇒ cos ⁡ θ ≥ r 2 r \leq 2 \cos \theta \Rightarrow \cos \theta \geq \frac{r}{2} r≤2cosθ⇒cosθ≥2r​ ⇒ θ ≤ arccos ⁡ r 2 \Rightarrow \theta \leq \arccos \frac{r}{2} ⇒θ≤arccos2r​得到。

D 2 : 2 < r ≤ 2 , − arccos ⁡ r 2 ≤ θ ≤ arccos ⁡ r 2 D_{2}: \sqrt{2}0) r=2cosθ(θ>0)(即 θ = arccos ⁡ r 2 \theta=\arccos \frac{r}{2} θ=arccos2r​)穿出区域 D D D

当 2 ≤ r ≤ 2 \sqrt{2} \leq r \leq 2 2 ​≤r≤2时，圆弧 r = r= r=常数从 r = 2 cos ⁡ θ ( θ < 0 ) r=2 \cos \theta(\theta0) r=2cosθ(θ>0)(即 θ = arccos ⁡ r 2 \theta=\arccos \frac{r}{2} θ=arccos2r​)穿出区域 D D D

因此

∫ − π 4 π 2 d θ ∫ 0 2 cos ⁡ θ r f ( r , θ ) d r = ∫ 0 2 d r ∫ − π 4 arccos ⁡ r 2 r f ( r , θ ) d θ + ∫ 2 2 d r ∫ − arccos ⁡ r 2 arccos ⁡ r 2 r f ( r , θ ) d θ \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2 \cos \theta} r f(r, \theta) \mathrm{d} r=\int_{0}^{\sqrt{2}} \mathrm{d} r \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\arccos \frac{r}{2}} r f(r, \theta) \mathrm{d} \theta+\int_{\sqrt{2}}^{2} \mathrm{d} r \int_{-\arccos \frac{r}{2}}^{\arccos \frac{r}{2}} r f(r, \theta) \mathrm{d} \theta ∫−4π​2π​​dθ∫02cosθ​rf(r,θ)dr=∫02 ​​dr∫−4π​arccos2r​​rf(r,θ)dθ+∫2 ​2​dr∫−arccos2r​arccos2r​​rf(r,θ)dθ